Cosmologia Newtoniana

Marcelo B. Ribeiro¹

endereço atual
Dept$^{\underline{o}}$ Física Matemática, Instituto de Física - UFRJ,
C.P. 68528, Ilha do Fundão, 21945-970 Rio de Janeiro - RJ

referência
Boletim da Soc. Astronômica Brasileira, vol. 14, n $^{\underline{o}}$ 2, 34-63, (1994)
http://www.if.ufrj.br/~mbr/papers/cosmnwt/

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RESUMO

Nesse artigo procura-se mostrar como, a partir de hipóteses ad hoc, pode-se desenvolver modelos cosmológicos homogêneos e isotrópicos dentro da teoria Newtoniana elementar de gravitação. A partir de hipóteses básicas bastante simples, mostra-se como um modelo Newtoniano discreto pode ser construído e como pode ser derivada uma equação diferencial cosmológica que tem a mesma forma algébrica que a equação de Friedmann obtida a partir de argumentos relativísticos. Mostra-se também que um modelo contínuo pode ser obtido via uma simples generalização desse modelo discreto. O artigo também discute o comportamento da luz em cosmologias Newtonianas e analisa as limitações dessa forma de abordar a cosmologia.

ABSTRACT

This paper reviews how the use of very simple ad hoc hypothesis allows us to develop homogeneous and isotropic cosmological models within the elementary Newtonian theory of gravitation. By starting with very simple basic hypothesis, it is shown how a discrete Newtonian model can be built and how one can derive a cosmological differential equation algebraically equivalent to the relativistically derived Friedmann equation. It is also shown how a continuous model can be obtained via simple generalizations of the discrete model, and the behaviour of light in the context of Newtonian cosmologies is analysed. The paper finishes with a discussion about the limitations of this way of approaching cosmology.

Introdução

Quando se pensa em cosmologia como ciência, em geral a teoria física que se tem em mente na abordagem, descrição e caracterização dos fenômenos dessa área de pesquisa é a Teoria da Relatividade Geral. Por causa disso, a cosmologia está geralmente associada à complexidade matemática inerente à geometria Riemanniana, isto é, a álgebra tensorial, variedades diferenciáveis, grupos contínuos de simetria, etc. Aliando-se ao fato de que a Relatividade Geral é uma teoria de gravitação formulada em uma geometria Riemanniana quadri-dimensional espaço-temporal, é freqüente que os não especialistas da área tenham a impressão de que a cosmologia só pode ser estudada por meio de todo esse aparato matemático.

No entanto, é talvez pouco conhecido que cerca de 15 anos após a formulação relativística da cosmologia moderna, formulação essa originada principalmente nos trabalhos de Einstein, Friedmann, de Sitter, Lemaître, Eddington e Weyl no início da década de 1920, foi possível demonstrar que vários dos resultados básicos dos modelos homogêneos e isotrópicos podem ser obtidos a partir de uma perspectiva puramente Newtoniana, isto é, usando-se um espaço plano e estático, o tempo Newtoniano, a dinâmica e lei de gravitação Newtonianos e mais algumas hipóteses convenientemente formuladas com o objetivo de se obter os resultados esperados. Foram E. A. Milne e W. H. McCrea que em 1934 reverteram o quadro então vigente na época de que a cosmologia somente poderia ser formulada via relatividade geral e mostraram que a teoria Newtoniana elementar também poderia ser usada para abordar o problema cosmológico (Milne 1934; McCrea & Milne 1934). Sendo a cosmologia Newtoniana mais facilmente assimilável devido a sua estrutura matemática mais simples, quando comparada com a cosmologia relativística, ela é particularmente interessante em um primeiro estudo da cosmologia. Ela também é particularmente útil como uma primeira aproximação no tratamento de problemas cosmológicos locais, onde somente numa etapa posterior todo o ferramental da relatividade geral se torna necessário. Como veremos, isso se dá porque as predições locais das cosmologias Newtoniana e relativística são indistinguíveis devido ao fato de que vários dos seus resultados básicos são algebricamente equivalentes.

Nesse trabalho de revisão procurarei mostrar as hipóteses básicas sobre as quais uma cosmologia Newtoniana pode ser construída, os principais resultados obtidos e as limitações da abordagem Newtoniana da cosmologia. Esse artigo está organizado da seguinte forma: a seção 2 apresenta uma discussão conceitual do princípio cosmológico e a seção 3 apresenta um modelo homogêneo e isotrópico discreto bastante simples, que é resultado direto das aplicações desse princípio básico. Na seção 4 o modelo discreto é generalizado para o caso contínuo e a seção 5 apresenta uma formulação alternativa para o modelo contínuo. Na seção 6 discute-se o comportamento da luz nessas cosmologias. O artigo termina com uma seção de conclusão e discussão onde os principais resultados são sumarizados e um apêndice onde, a título de tornar o trabalho completo, são apresentadas as principais soluções cosmológicas, isto é, os modelos cosmológicos onde a constante cosmológica é igual a zero.

O Princípio Cosmológico

Cosmologia é a área de pesquisa que procura descrever o Universo como um todo, isto é, o conjunto de todas os fenômenos e objetos astronômicos em sua maior escala. Sendo hoje uma disciplina científica na medida em que esse estudo utiliza o aparato teórico, matemático, experimental e observacional da Física, Astronomia e Astrofísica, a cosmologia moderna procura produzir modelos que serão uma descrição mais ou menos acurada do Universo observado, isto é, do conjunto de observações astronômicas que acreditamos serem fundamentais na descrição dos fenômenos astronômicos em larga escala. Em outras palavras, o Universo observado, ou simplesmente Universo, é o mundo real conforme compreendido através das observações astronômicas e, portanto, forma a base empírica sobre a qual os modelos cosmológicos, também chamados cosmologias, são construídos usando a Física e a Astronomia conhecidas. Por esse motivo, os modelos cosmológicos são também convencionalmente chamados de modelos de universo pois são essencialmente reprentações teóricas do Universo.² 

Modelos de universo são, portanto, modelos matemáticos advindos das teorias físicas e, considerando que a Física desde os tempos de Newton é formulada por meio de equações diferenciais, dentro desta perspectiva podemos tentar formular uma breve definição da cosmologia e dizer que esta é o estudo do mais extenso dos sistemas dinâmicos. Em outras palavras, cosmologia é o estudo do mais remoto grupo de objetos nos quais as nossas leis físicas tenham significado e possam ser aplicadas de maneira consistente e bem sucedida. Esse grupo de objetos forma o substrato cosmológico, e assim, as galáxias, quasares, etc, serão então os elementos desse substrato.

Essa breve discussão procura mostrar que a cosmologia pode facilmente se tornar um problema intratável se for abordada em toda a sua generalidade, dado que pelo seu próprio escopo ela possui uma magnitude formidável. Por conseguinte, em cosmologia tornou-se fundamental que fossem assumidos alguns princípios de simplicidade que visavam reduzir e tornar factível e tratável o problema cosmológico, e historicamente o princípio mais amplamente utilizado é o assim chamado princípio cosmológico. Não pertence aos objetivos desse trabalho apresentar uma discussão detalhada acerca do princípio cosmológico, que pode ser encontrada, por exemplo, em Bondi (1960). Portanto, limitarei a discussão que se segue a uma breve exposição desse princípio no contexto Newtoniano.

O princípio cosmológico é essencialmente uma interpretação do princípio Copernicano que sustenta não haver pontos privilegiados no Universo. Deste modo, podemos formular o princípio cosmológico da seguinte forma: em cada época o universo não muda de ponto para ponto, isto é, apresenta o mesmo aspecto em cada posição, com exceção das irregularidades locais. Assim, a partir desse princípio podemos dizer que se em um determinado tempo Newtoniano $t = \mbox{constante}$ não existem pontos privilegiados, isto significa que o universo é homogêneo, isto é, as quantidades cósmicas não irão depender da posição mas somente do tempo. O princípio também requer que além da inexistência de pontos privilegiados também não haja direções privilegiadas ao redor de cada ponto, o que significa que o universo além de homogêneo é também isotrópico em cada instante do tempo Newtoniano.

As hipóteses de homogeneidade e isotropia advindas do princípio cosmológico implicam que o movimento do substrato cosmológico deve ser esfericamente simétrico ao redor de uma origem fixa $\cal O$, o que implica que o movimento das galáxias será puramente radial. Para tornar claro este ponto, vamos imaginar o seguinte exemplo. Consideremos um pequeno triângulo formado por três partículas do substrato cosmológico em um determinado tempo t, e um segundo triângulo formado pelas mesmas partículas em um tempo posterior t'. O segundo triângulo vai diferir do primeiro em vários aspectos, mas quando nós usamos o fato de que o princípio cosmológico requer que o espaço seja homogêneo e isotrópico, isto é, que não haja nenhum ponto ou direção preferencial, então isso implica que o segundo triângulo no tempo t' deve ser geometricamente similar ao primeiro no tempo t. Portanto, se o universo não é estático, isto é, se há expansão ou contração, o fator de magnificação (ou redução) deve ser independente da posição dos triângulos no espaço. Assim, a distribuição e movimento das partículas no universo será dependente de um mesmo fator de magnificação/redução tal que os raios das distâncias correspondentes aos pequenos deslocamentos sejam os mesmos em todos os tempos. Em outras palavras, o movimento das partículas do substrato cosmológico terá que ser puramente radial, e esse fator de magnificação/redução dependerá apenas do tempo. Para exemplificar essas idéias vamos considerar a seguir um modelo discreto simples.

Cosmologia Newtoniana Discreta

Podemos construir um modelo cosmológico discreto se assumirmos que o universo consiste de um número finito n de galáxias (Landsberg & Evans 1977; d'Inverno 1992). Assim, se a galáxia i tiver uma massa m_i e estiver na posição dada pelo vetor ${\bf r}_{i}(t)$ a partir de uma origem de coordenadas $\cal O$, pelo princípio cosmológico essa distribuição de galáxias deverá ser esfericamente simétrica em torno de $\cal O$ e, portanto, o movimento das galáxias será estritamente radial. Desta forma podemos escrever que

$${\bf r}_i (t) = r_i (t) {\bf\hat{r}}.$$ (1)

A energia cinética total desse sistema pode então ser escrita como

$$T = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}m_{i}{{\bf v}_i}^2,$$ (2)

onde

$${\bf v}_i= {\bf\dot{r}}_i = \frac{d {\bf r}_i (t)}{dt}.$$ (3)

A energia potencial gravitacional entre um par de galáxias com massas m_i e m_j será dada por

$$V_{ij}= - G \frac{m_i m_j}{ \mid {\bf r}_i - {\bf r}_j \mid },$$ (4)

o que implica que a energia potencial total do sistema será dada pela dupla soma

$$V = - G \mathop{\sum_{i,j=1}^n}_{(i < j)} \frac{m_{i}m_{j}}{\mid {\bf r}_{i} - {\bf r}_{j} \mid}.$$ (5)

A restrição i < j indica que a soma não terá os dois termos $\frac{m_i m_j}{ \mid {\bf r}_{i} - {\bf r}_{j} \mid }$ e $\frac{m_j m_i}{ \mid {\bf r}_{j} - {\bf r}_{i} \mid }$, mas somente um deles, isto é, aquele em que i for menor do que j.

Vamos assumir agora a existência de uma força cosmológica que atua na galáxia i na seguinte forma

$${\bf F}_{i} = \frac{1}{3} \Lambda m_{i} {\bf r}_{i},$$ (6)

onde o fator 1/3 foi adicionado por conveniência e $\Lambda$ é uma constante, chamada de constante cosmológica, que pode assumir valores positivos ou negativos. Essa força vai implicar em uma energia potencial adicional dada por

$$V_{c} = -\frac{1}{6} \Lambda \sum_{i=1}^{n}m_{i}{{\bf r}_i}^2 .$$ (7)

Com esses resultados podemos escrever a energia total do sistema E = T + V + V_c como sendo

$$E = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}m_{i}{{\bf v}_i}^2 - G \mathop... ... \mid} -\frac{1}{6} \Lambda \sum_{i=1}^{n}m_{i}{{\bf r}_i}^2.$$ (8)

Suponhamos agora que em uma determinada época fixa, isto é, em um determinado valor t₀ do tempo Newtoniano, o movimento e distribuição do sistema seja conhecido. Assim, como pelo princípio cosmológico o movimento do sistema é radial, isso implica que em qualquer tempo tteremos

 

r_i(t) = S(t) r_i(t₀) , (9)

onde S(t) é uma função universal do tempo para todas as partículas chamada fator de escala. A representação do movimento das partículas do substrato cosmológico através do fator de escala é a maneira com a qual podemos expressar matematicamente a idéia de que os únicos movimentos compatíveis com a homogeneidade e isotropia são os de expansão ou contração uniforme, ou seja, uma simples magnificação/redução feita por um fator de escala dependente do tempo, como havíamos discutido na seção anterior.

Por meio da equação (9) podemos escrever a velocidade radial da galáxia i como sendo

$${ \dot{r}}_i (t) = { \dot{S}} (t) r_i (t_0) = \frac{ \dot{S} (t) }{S (t)} r_i (t).$$ (10)

Se agora definirmos uma quantidade chamada parâmetro de Hubble H(t) como sendo

$$H(t) = \frac{ \dot{S} }{S},$$ (11)

então a equação (10) pode ser escrita como

$$v_i(t) = H(t) \ r_i (t).$$ (12)

Essa é a chamada lei de velocidade-distância que diz que em uma determinada época em um universo em expansão, a velocidade radial de recessão de uma galáxia i com distância r_i de um determinado ponto $\cal O$ é proporcional à distância da galáxia desse mesmo ponto $\cal O$. O valor do parâmetro de Hubble em nossa época é conhecido como constante de Hubble.³ 

Substituindo as equações (9) e (10) em (8) obtemos que a energia total do sistema será dada por

$$E = A {\dot{S}}^2 - \frac{B}{S} -D S^2,$$ (13)

onde A, B e D são coeficientes constantes definidos como

$$A \equiv \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_{i} { \left[ r_i (t_0) \right] }^2,$$ (14)

$$B \equiv G \mathop{\sum_{i,j=1}^n}_{(i < j)} \frac{m_{i}m_{j}} {\mid {\bf r}_{i} (t_0) - {\bf r}_{j} (t_0) \mid},$$ (15)

$$D \equiv \frac{1}{3} \Lambda A.$$ (16)

Esses coeficientes são independentes do tempo t, sendo dependentes apenas da natureza do sistema em uma determinada época de referência t₀.

A equação (13) é chamada de equação diferencial cosmológica para o fator de escala S(t) e tem um significado físico simples. Se $\Lambda=0$ e o sistema de galáxias, isto é, o universo, estiver sofrendo uma expansão, então o segundo termo do lado direito diminui. Como a energia total permanece constante, então o primeiro termo do lado direito da equação (13) também precisa diminuir, o que implica que a expansão está decrescendo. Se $\Lambda$ for positivo, então todas as galáxias estarão sofrendo uma repulsão cósmica que as impulsiona para distâncias cada vez maiores da origem, e portanto, a constante cosmológica estará contribuindo positivamente para a expansão do universo. Se $\Lambda$ for negativo ocorre o inverso, e o termo cosmológico vai agir contra a expansão, diminuindo-a progressivamente. O quanto a expansão vai diminuir, ou por quanto tempo ela vai durar, são questões típicas em cosmologia.

A equação (13) pode ainda ser escrita numa forma algébrica quase idêntica à obtida na cosmologia relativística Friedmanniana. Pondo ${\dot{S}}^2$ em evidência e considerando a definição (16) obtemos

$${\dot{R}}^2 = \frac{C}{R} + \frac{1}{3} \Lambda R^2 - k,$$ (17)

onde o novo fator de escala R(t) foi obtido através do reescalamento de S(t) por

$$R(t) = \mu S(t),$$ (18)

e as constantes C e k são definidas como

$$C \equiv \frac{B \mu^3}{A},$$ (19)

$$k \equiv - \frac{ \mu^2 E}{A}.$$ (20)

A energia total E do sistema pode ser zero ou diferente de zero. Se E=0 a constante $\mu$ pode ser escolhida arbitrariamente, mas qualquer que seja a escolha temos pela equação (20) que k necessariamente será também igual a zero. Se $E \not= 0$ podemos escolher $\mu$ tal que

$$\mu^2 = \frac{A}{ \mid E \mid },$$ (21)

o que implica que se E > 0, k=-1, e se E < 0, k=+1. Assim, a escolha do reescalamento (18) vai implicar que a constante ksó poderá assumir os valores +1, 0, ou -1. Nessa escolha a equação (17) tem exatamente a mesma forma algébrica que a equação de Friedmann obtida pela cosmologia relativística, embora a identificação quase completa somente seja possível quando calcularmos os coeficientes A, B, C e D em termos de uma distribuição contínua de matéria.

Para concluir essa seção é importante chamar a atenção de que a interpretação do termo k na teoria Newtoniana difere da obtida na cosmologia relativística. A equação (20) mostra que a teoria Newtoniana interpreta esse termo como energia, enquanto que na cosmologia relativística k vai especificar a curvatura do espaço.

O Modelo Contínuo

O modelo apresentado na seção anterior pode ser extendido para uma descrição contínua se admitirmos, conforme o princípio cosmológico, que toda a massa do universo está distribuída uniformemente em cada época t (Landsberg & Evans 1977). Assim, a densidade de matéria vai depender apenas do tempo e, portanto, $\rho (t)$ torna-se a principal função em termos da qual o Universo será descrito. Vamos supor então que o nosso modelo de universo apresentado até o momento é limitado por uma superfície esférica $\cal A$ cujo raio será função apenas do tempo. Assim, o raio dessa esfera em qualquer tempo t será dado por a(t), e a origem $\cal O$ do sistema de coordenadas estará situada no centro dessa esfera.⁴ 

Em uma época t₀, isto é, no tempo de referência t₀ onde o movimento e distribuição do sistema é conhecido, a casca esférica com raio x e espessura d x, terá uma área dada $4 \pi x^2$ e um volume igual a $4 \pi x^2 dx$. Assim, a massa contida nessa casca esférica será dada por

$$dm(x) = 4 \pi x^2 \rho(t_0) dx.$$ (22)

Suponhamos agora que f(r_i) seja uma função qualquer das npartículas situadas dentro da superfície esférica. A passagem da descrição discreta para uma contínua vai implicar que uma estimativa da massa total dentro de $\cal A$ pode ser escrita como

$$\sum_{i=1}^n m_i \Rightarrow \int_0^{a(t_0)} 4 \pi x^2 \rho (t_0) dx,$$ (23)

e assim podemos dizer que para qualquer função f(r_i) é razoável que a soma de m_i f(r_i) possa ser escrita como

$$\sum_{i=1}^n m_i f(r_i) \Rightarrow \int_0^{a_0} 4 \pi x^2 \rho_0 f(x) dx,$$ (24)

onde a₀=a(t₀), $\rho_0=\rho(t_0)$. Ao se aplicar esse mesmo argumento à equação (14) obtemos

$$A=\frac{1}{2} \int_0^{a_0} 4 \pi x^2 \rho_0 x^2 dx= \frac{2 \pi}{5} \rho_0 {a_0}^5.$$ (25)

Se definirmos agora a massa total do sistema como sendo

$$M \equiv \sum_{i=1}^n m_i \ \ \Longrightarrow \ \ M= \int_0^{a_0} 4 \pi x^2 \rho_0 dx = \frac{4 \pi}{3} \rho_0 {a_0}^3,$$ (26)

então chegamos à seguinte equação,

$$A=\frac{3 M}{10} {a_0}^2.$$ (27)

Na medida em que M é uma constante no tempo, temos então que $\rho_0 {a_0}^3 = \rho {a}^3 = \mbox{cte}$, ou

$$\frac{d}{dt} \left( \rho {a}^3 \right) = 0,$$ (28)

para qualquer tempo t. A equação (28) tem a mesma forma que a relação para a época dominada pela matéria em um universo Friedmanniano.

O coeficiente D é facilmente calculado usando a equação (27), de onde obtemos que

$$D= \frac{M}{10} \Lambda {a_0}^2.$$ (29)

Passemos agora ao cálculo de B. Nesse caso é conveniente supor, conforme dito acima, que i < j somente se a galáxia i não está mais distante do centro $\cal O$ do que a partícula j. Isso significa que o potencial gravitacional no local da galáxia j no tempo t₀ devida a todas as partículas i situadas mais próximas do centro $\cal O$ do que j será dado por

$$\Phi \left[ {\bf r}_j (t_0) \right] = - G \sum_{i=1}^{j-1} \frac{m_i}{ \mid {\bf r}_i (t_0) - {\bf r}_j (t_0) \mid }.$$ (30)

Com esse resultado podemos escrever a equação (15) da seguinte forma:

$$B= G \mathop{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n}_{(i < j)} \frac{m_i m... ...n m_j \left\{ - \Phi \left[ {\bf r}_j (t_0) \right] \right\}.$$ (31)

Da mesma forma como foi obtida a expressão para o coeficiente A, podemos utilizar a relação (24) para escrever a equação (31) na forma

$$B= - \int_0^{a_0} 4 \pi x^2 \rho_0 \Phi (x,t_0) dx,$$ (32)

onde $\Phi (x,t_0)$ é o potencial gravitacional a uma distância x de $\cal O$ em um tempo t₀ devido a todas as massas ${\cal M}(x)$situadas dentro da esfera de raio x ($x \le a_0$). Assim pela equação (22) temos que

$${\cal M}(x) = \int_0^x dm(x) = \frac{4}{3} \pi \rho_0 x^3,$$ (33)

o que implica que o potencial gravitacional será dado por

$$\Phi (x,t_0)= - \frac{G {\cal M}(x)}{x} = - \frac{4}{3} \pi G \rho_0 x^2.$$ (34)

Note que essa expressão fornece apenas o potencial gravitacional da distribuição de massa interna a x, isto é, apenas a fração ${\cal M}$ de M contribui para $\Phi$ na equação (34). ⁵ Com essa expressão podemos finalmente escrever a forma contínua de B como sendo

$$B= \frac{16}{15} G \pi^2 {\rho_0}^2 {a_0}^5.$$ (35)

Para calcularmos C é necessário notar que utilizando as equações (9) e (18) podemos escrever que

$$\frac{ R(t)}{ \mu} = \frac{ r_i (t)}{ r_i(t_0)}.$$ (36)

Na descrição contínua essa relação pode tomar a forma especial $\left[ R(t) / \mu \right] = \left[ a / a_0 \right]$ pois o fator de escala R(t) é o mesmo para todas as partículas do substrato cosmológico, inclusive para as situadas na borda da distribuição onde r_borda (t) = a(t). Se lembrarmos que $\rho a^3$ é uma constante para qualquer tempo t, chegamos a relação

$$\frac{\rho_0}{\rho}= \frac{R^3}{\mu^3}.$$ (37)

Substituindo a equação acima na expressão (19) e considerando as equações (25) e (35) para os coeficientes A e B, obtemos finalmente a forma de C no modelo contínuo:

$$C = \frac{8}{3} \pi G \rho(t) R^3(t).$$ (38)

A passagem do modelo discreto para o contínuo permite obter a expressão para C na qual a equação diferencial cosmológica (17) tem exatamente a mesma forma algébrica que a obtida via relatividade geral. Isso ocorre porque a equação (38) é igual à obtida pelo modelo relativístico homogêneo e isotrópico de Friedmann.

Para concluir essa seção é importante notar que os resultados apresentados até agora mostram claramente que podemos estudar os modelos cosmológicos mais simples e populares através de uma abordagem puramente Newtoniana, desde que algumas hipóteses simplificadoras básicas sejam convenientemente formuladas.

  
Ainda o Modelo Contínuo

A dedução do modelo cosmológico contínuo via uma simples generalização do modelo discreto, como discutido na seção anterior, tem a vantagem de tornar possível chegar às equações contínuas por meio de um raciocínio bastante simples e direto. No entanto, tal maneira de apresentar o problema tem a desvantagem de não tornar claro os desdobramentos das várias hipóteses físicas básicas assumidas ao se construir uma cosmologia Newtoniana. Nessa seção procurarei apresentar o modelo contínuo de uma forma um pouco diferente de como foi discutido até o momento com vistas a tornar explícitos tais desdobramentos e enfatizar as hipóteses físicas assumidas.

Até o momento foi suposto que o substrato cosmológico é composto por partículas pontuais (basicamente galáxias) cujas posições são descritas por um vetor ${\bf r}_{i}(t)$ a partir de uma origem de coordenadas $\cal O$. Ao se fazer a passagem do modelo discreto para o contínuo assumiu-se implicitamente a hipótese de que o substrato cosmológico pode ser pensado como um fluido onde a dinâmica Newtoniana é válida. Em outras palavras, a partir da hipótese contínua pode-se pensar o substrato cosmológico como sendo formado por uma grande nuvem gasosa onde as galáxias são ou as partículas deste gás ou condensações localizadas do gás intergalático, condensações essas que indicam o movimento médio do gás na sua vizinhança.

É importante frisar que tal nuvem gasosa não pode ser assumida como sendo infinitamente grande, mas como sendo arbitrariamente extensa porém finita, a não ser que o potencial Newtoniano seja forçado a obedecer condições de contorno especiais. O problema básico reside no fato de que a teoria Newtoniana de gravitação encontra problemas sérios quando aplicada a sistemas infinitos. No caso de um universo Newtoniano infinito, essa dificuldade aparece quando calculamos o potencial gravitacional em um sistema homogêneo esfericamente simétrico, isso porque o resultado obtido mostra que esse potencial em um determinado ponto devido a toda a matéria do universo torna-se infinito na teoria Newtoniana. Tal resultado pode ser obtido se notarmos que na superfície esférica $\cal A$ o potencial gravitacional dado pela equação (34) torna-se

$$\Phi (a_0,t_0)= - \frac{4}{3} \pi G \rho_0 {a_0}^2.$$ (39)

Essa expressão mostra claramente que em um universo infinito, isto é, quando $a_0~\rightarrow~\infty$, o potencial diverge e a força gravitacional em $\cal A$ também torna-se infinita.⁶  Portanto, para evitar essa dificuldade intrínseca à teoria, somos forçados a assumir que o substrato cosmológico é formado por uma nuvem de gás que pode ser arbitrariamente extensa, porém finita (Layzer 1954; McCrea 1955abc; Bondi 1960; North 1965; Schücking 1967ab; Landsberg & Evans 1977; Sciama 1993).⁷

Essa hipótese, no entanto, traz uma dificuldade com o princípio cosmológico: a importante diferença entre uma nuvem de gás infinita e uma finita é que a última tem um centro único enquanto que a infinita não tem. Dessa forma, assumindo-se uma nuvem finita nós estaremos também admitindo a existência de um ponto especial nesse sistema, isto é, seu centro, o que obviamente contraria o princípio cosmológico (e Copernicano). Esse problema pode ser minimizado se pensarmos que a nuvem de gás é uniforme até a sua borda, isotrópica ao redor de seu centro e, dada a arbitrariedade de seu tamanho, muito maior do que qualquer distância astronomicamente medida. Dessa forma, qualquer galáxia que pudermos detectar veria ao redor de si mesma um universo homogêneo e isotrópico com uma precisão arbitrariamente alta. Portanto, o fato de sermos forçados a admitir um universo finito não chega a ser um problema sério pois como podemos pensá-lo como sendo arbitrariamente grande, do ponto de vista observacional não poderíamos distinguir um universo infinito de um finito cuja extensão fosse grande o bastante para ser maior do que qualquer distância astronomicamente mensurável. Apesar dessa argumentação estar aberta a objeções, podemos pelo menos aceitar as considerações acima como sendo úteis em uma primeira abordagem teórica do problema dadas as dificuldades da aplicação da teoria Newtoniana no contexto cosmológico. Com essa discussão em mente, voltemos agora ao modelo contínuo.

Uma forma alternativa de apresentar a cosmologia Newtoniana é a de iniciarmos nossa discussão considerando apenas a cinemática da nuvem do gás cosmológico. Na medida em que o movimento das partículas do gás é assumido ser estritamente radial, então

$${\bf r}(t) = R(t) {\bf r}(t_0),$$ (43)

o que implica que na época de referência t=t₀ o fator de escala é escolhido unitário, R(t₀) = 1. A derivada da expressão acima fornece a equação de movimento de uma partícula do gás,

$${\bf v}(r,H) = H(t) {\bf r}(t).$$ (44)

onde $H(t)= \dot{R} / R$. Essa equação é meramente a lei de velocidade-distância na forma contínua (ver eq. 12). Devemos impor agora a lei de conservação da massa à nuvem de gás, isto é, a equação da continuidade. Considerando a lei de velocidade-distância e que $\rho=\rho(t)$ temos

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + {\bf\nabla} \cdot \left( \rho {\bf v} \right) = \frac{d \rho}{d t} + 3 \rho H(t) = 0.$$ (45)

Integrando essa equação obtemos

$$\int_{\rho(t_0)}^{\rho(t)} \frac{d \rho}{\rho} = -3 \int_{R(t... ...rightarrow \ \ \ \ \frac{\rho}{\rho(t_0)} = \frac{1}{R^3(t)},$$ (46)

que é equivalente à equação (37).⁸  Esse resultado é uma conseqüência da relação (43) pois se todas as dimensões lineares forem magnificadas por um fator R(t), então todos os volumes devem aumentar por um fator R³(t) e a densidade precisa igualmente diminuir.

Para discutirmos a dinâmica do gás, podemos impor a equação de movimento na forma da equação de Euler. Lembrando que de acordo com o princípio cosmológico as quantidades cósmicas dependem somente do tempo, então a pressão na nuvem de gás será dada por p=p(t). No entanto, os modelos cosmológicos mais simples e populares são exatamente aqueles com pressão nula, isto é, com equação de estado de poeira, e assim assumiremos p=0 nesse trabalho, o que implica que a nuvem de gás cosmológica é na realidade uma nuvem de poeira (matéria incoerente).⁹  Portanto a equação de Euler toma a forma

$$\frac{ d {\bf v}}{d t} + \frac{1}{\rho} {\bf\nabla}p - {\bf ... ...ft[ \frac{d H(t)}{dt} + H^2(t) \right] {\bf r} - {\bf f} = 0,$$ (47)

onde $\bf f$ é a força externa por unidade de massa. No caso da gravitação sabemos que ${\bf f} = - {\bf\nabla} \Phi$, o que implica que para calcular $\bf f$ podemos fazer uso da equação de Poisson,

$${\bf\nabla \cdot f} = - 4 \pi G \rho.$$ (48)

Calculando a divergência da equação (47) obtemos

$$3 \left[ \frac{d H(t)}{dt} + H^2(t) \right] = - 4 \pi G \rho,$$ (49)

onde substituindo a equação (46) e a definição do parâmetro de Hubble temos

$$R^2 \frac{d^2 R}{dt^2} + \frac{4}{3} \pi G \rho_0 = 0.$$ (50)

Essa equação mostra claramente que um universo estático, isto é, aquele em que $\dot{R} \! = \! \ddot{R} \! = \! 0$, só é possível no caso trivial onde a densidade é zero. Tal resultado foi a principal dificuldade enfrentada pela cosmologia no final do século passado e a forma proposta para superá-la foi a adoção de uma força adicional que somente seria apreciável a grandes distâncias, sem efeitos no sistema solar. Tal foi feito por Neumann e Seeliger em 1896 (Bondi 1960; North 1965; Schüking 1967b), embora isso tenha gerado enormes e, na época, insuperáveis críticas pois implica em uma modificação arbitrária da lei de gravitação universal de Newton sem uma aparente justificativa empírica. Após o advento da cosmologia relativística, Einstein modificou suas equações através da adoção da famosa constante cosmológica cujo objetivo era o de permitir um universo relativístico estático. O análogo Newtoniano dessa modificação é equivalente ao originalmente proposto por Neumann e Seeliger e implica na adoção de um termo proporcional à distância e independente da densidade. Todavia, estritamente falando tal termo não é necessário se, ao contrário de Neumann, Seeliger e, inicialmente, Einstein, assumirmos a hipótese originalmente formulada por Friedmann e posteriormente comprovada empiricamente por Hubble, de que o universo não é estático, mas dinâmico. Essa hipótese remove as dificuldades conceituais mencionadas acima acerca da equação (50), fazendo com que a proposta de modificação da lei de Newton se torne desnecessária.

Apesar de sua possível irrelevância, uma vez proposta não foi mais possível ignorar a constante cosmológica, a qual, mesmo sendo controversa, é freqüentemente utilizada em cosmologia. Um dos principais motivos para a sua permanência decorre do fato de que todas as vezes em que foram encontradas discrepâncias entre a teoria e as observações, a constante cosmológica é relembrada e reintroduzida na teoria como uma tentativa de explicar essas possíveis discrepâncias. No entanto, uma vez que tais discrepâncias são resolvidas, a constante cosmológica é abandonada novamente, em geral até que novas discrepâncias apareçam e o ciclo se repita. Por essa razão o termo cosmológico é apresentado nesse trabalho. No caso da abordagem usada nessa seção, o termo cosmológico será introduzido por meio do método que se segue.

Se assumirmos que a força gravitacional de uma partícula em $\cal A$é devida inteiramente à matéria contida em $\cal A$ com centro em $\cal O$, então a força gravitacional será dada por

$${\bf f}={\bf\ddot{\bf r}}(t) = -\frac{G M}{ { \left[ r(t) \right] }^2 } {\bf\hat{r}}= -\frac{4}{3} \pi G \rho(t) {\bf r}.$$ (51)

O termo cosmológico pode ser introduzido se alterarmos a equação acima para

$${\bf f}=-\frac{4}{3} \pi G \rho(t) {\bf r} + \frac{1}{3} \Lambda {\bf r},$$ (52)

o que implica na modificação da equação de Poisson para

$${\bf\nabla \cdot f}= -4 \pi G \rho + \Lambda.$$ (53)

Portanto, com a constante cosmológica a equação (50) torna-se

$$R^2 \frac{d^2 R}{dt^2} + \frac{4}{3} \pi G \rho_0 - \frac{1}{3} \Lambda R^3= 0.$$ (54)

Se multiplicarmos por $2 \dot{R}/{R^2}$, essa equação pode ser escrita como

$$\frac{d}{dt} \left( {\dot{R}}^2 - \frac{8 \pi G \rho_0}{3 R} - \frac{\Lambda}{3} R^2 \right) = 0,$$ (55)

ou

$${\dot{R}}^2 = \frac{C}{R} + \frac{\Lambda}{3} R^2 - k,$$ (56)

onde k é uma constante de integração e C é definido por

$$C= \frac{8}{3} \pi G \rho_0.$$ (57)

Assim, através de um caminho um pouco diferente chegamos à mesma expressão da equação diferencial cosmológica para a forma contínua de C. Deve-se observar aqui que o método utilizado nessa seção assumiu que a pressão do fluido cosmológico é negligenciável. Portanto a equivalência algébrica entre as equações obtidas pela teoria Newtoniana e relativística está baseada nessa hipótese, conhecida como o teorema de Milne-McCrea (Sciama 1993, p. 32).

Antes de concluir essa seção devemos observar que a finitude da nuvem de poeira cosmológica é necessária não só devido ao problema da divergência do potencial Newtoniano no infinito, como mencionado acima, mas também devido ao fato de que a lei de velocidade-distância (44) só é válida no contexto Newtoniano para galáxias com pequenas velocidades relativas se comparadas com a velocidade da luz. Assim, a teoria Newtoniana só é aplicável se duas galáxias vizinhas tiverem pequena velocidade de recessão. Portanto, se quisermos calcular a aceleração dos fótons de origem cosmológica não podemos utilizar a teoria discutida acima na medida em que ela é válida apenas para o movimento de partículas (galáxias) em baixa velocidade e em volumes esféricos limitados (Callan, Dicke & Peebles 1965).

Propagação da Luz na Cosmologia Newtoniana

A equação diferencial cosmológica obtida nas seções anteriores permite uma descrição completa da dinâmica da nuvem de poeira na medida em que sua integração fornece a função R(t) que determina o comportamento do modelo. No entanto, em cosmologia não basta saber a forma da função R(t) pois é necessário considerar como seria possível a um observador em $\cal O$ obter medições acerca das galáxias distantes. Na medida em que essas observações implicam na análise da luz proveniente dos objetos distantes, a propagação da luz deve ser considerada em modelos cosmológicos.

É exatamente nesse ponto que a fraqueza e limitação da abordagem Newtoniana da cosmologia se faz mais clara, pois devido ao fato de a teoria Newtoniana não ser capaz de lidar com o eletromagnetismo, o comportamento dinâmico do sistema não determina as propriedades da luz. Tal problema não existe na abordagem relativística da cosmologia pois o próprio nascimento da relatividade, na sua forma especial, veio justamente como uma forma de resolver os problemas decorrentes dessa divisão entre a dinâmica e o eletromagnetismo. No entanto, como o objetivo desse trabalho não é o de discutir a cosmologia relativística, a única maneira de prosseguirmos na análise Newtoniana da propagação cosmológica da luz é através da adoção de hipóteses ad hoc que tem como objetivo obter os mesmos resultados que os da teoria relativística.

Tendo essa discussão em mente, podemos então apresentar o seguinte resultado: em cosmologia Newtoniana a ``equação do fóton'' que descreve a propagação dos raios de luz que se afastam ou se aproximam de um observador é dada respectivamente por (Bondi 1960; Schücking 1967a),

$$\frac{dr}{dt} = r \frac{\dot{R}}{R} \pm c,$$ (58)

onde c é a velocidade da luz. Integrando essa equação obtemos

$$\frac{r(t_2)}{R(t_2)} - \frac{r(t_1)}{R(t_1)} = \pm c \int_{t_1}^{t_2} \frac{dt}{R(t)}.$$ (59)

Vamos considerar agora a propagação de um raio de luz partindo de uma fonte situada em r(t) em direção a um observador em r=0. Se esse raio de luz é emitido pela fonte no tempo t₁ e captado pelo observador no tempo t₂, como r(t₂)=0 e o raio de luz está se aproximando, a equação (59) para o movimento desse fóton torna-se,

$$\frac{r(t_1)}{R(t_1)} = c \int_{t_1}^{t_2} \frac{dt}{R(t)}.$$ (60)

Considerando a equação (43) sabemos que r(t₁)/R(t₁) é constante. Assim, se uma galáxia emite um fóton no tempo t₁ e ele é captado por um observador no tempo t₂, a emissão no tempo $t_1 + \Delta t_1$ será captada no tempo $t_2 + \Delta t_2$. Portanto, como o lado esquerdo da equação (60) não muda, podemos escrever que

$$\int_{t_1}^{t_2} \frac{dt}{R(t)}= \int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_2 + \Delta t_2} \frac{dt}{R(t)},$$ (61)

expressão a qual, após uma manipulação nos limites das integrais, torna-se

$$\int_{t_1}^{t_1 + \Delta t_1} \frac{dt}{R(t)}= \int_{t_2}^{t_2 + \Delta t_2} \frac{dt}{R(t)}.$$ (62)

Essa equação pode ser integrada se supusermos que a função R(t)não muda apreciavelmente em um tempo $\Delta t$. Assim, assumindo $R(t + \Delta t) \approx R(t)$, a integração da equação (62) é imediata e fornece o resultado

$$\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1} = \frac{R(t_2)}{R(t_1)}.$$ (63)

Se $\Delta t_1$ representar o período da emissão da onda pela galáxia, e $\Delta t_2$ for o período da captação dessa onda, então a variação é justamente o efeito Doppler

$$\frac{\nu_1}{\nu_2}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}= 1+ z,$$ (64)

e, portanto,

$$1+z = \frac{R(t_2)}{R(t_1)}.$$ (65)

Assim, em um Universo em expansão temos que R(t₂) > R(t₁) e, portanto, z > 0. Esse resultado implica que essa cosmologia interpreta o observado desvio para o vermelho das galáxias como um efeito decorrente da expansão do Universo.

Como mencionado anteriormente, a única justificativa para o uso neste contexto da equação (58) é de que o resultado final é o mesmo que o obtido via considerações relativísticas, desse modo permitindo uma interpretação cosmológica para o observado desvio para o vermelho das galáxias. De maneira similar pode-se obter uma relação para a equação de magnitude aparente versus o desvio para o vermelho (ver Haggerty & Wertz 1972).

Conclusão e Discussão

Esse artigo apresentou as idéias fundamentais a partir das quais uma cosmologia homogênea e isotrópica pode ser formulada se considerarmos apenas a teoria elementar de gravitação. Usando-se um espaço plano e estático, o tempo Newtoniano, a dinâmica e lei de gravitação universal e o princípio cosmológico, foi possível obter, primeiro por um método discreto posteriomente generalizado para o caso contínuo, uma equação diferencial cosmológica que tem a mesma forma que a equação de Friedmann obtida a partir de argumentos relativísticos. Além disso, mostrou-se que a lei de velocidade-distância ocorre como conseqüência das hipóteses assumidas. A partir da equação de Poisson, das equações básicas da hidrodinâmica, isto é, as equações da continuidade e de Euler, e assumindo-se que o Universo é formado apenas por matéria incoerente (poeira), foi possível reobter a mesma equação diferencial cosmológica. Verificou-se também que na mais simples abordagem Newtoniana da cosmologia homogênea e isotrópica é inevitável a conclusão de que o universo precisa ser considerado finito, porém sua extensão pode ser arbitrariamente grande. Discutiu-se também o comportamento da luz nesse modelo, onde ficou evidenciada a fraqueza da abordagem Newtoniana da cosmologia devido à incapacidade dessa teoria em lidar dinamicamente com a luz. Com esse fato em mente, mostrou-se que o efeito cosmológico do desvio para o vermelho das galáxias é explicado via a adoção de uma equação cuja única justificativa é de que ela é capaz de reproduzir os resultados obtidos através de um tratamento relativístico.

Como vimos acima, mesmo tomando a teoria da relatividade geral como a melhor teoria física capaz de descrever o Universo, a teoria Newtoniana permite fornecer vários resultados algebricamente equivalentes. Desse modo, vale a pergunta: qual é o papel da abordagem Newtoniana na cosmologia moderna? Ao estudarmos cosmologia, poderíamos então simplesmente ignorar a relatividade, junto com seu pesado cálculo tensorial e seus difíceis conceitos geométricos, e utilizar somente o modelo Newtoniano na medida em que essa teoria fornece resultados algebricamente equivalentes e, como teoria, é muito mais ``simples e natural''? As respostas a essas questões levantam uma série de aspectos conceituais importantes que precisam ser levados em consideração em cosmologia.

Em primeiro lugar, como vimos acima, só foi possível construir uma cosmologia Newtoniana que fizesse sentido quando usamos uma série de hipóteses que somente se tornaram claras após o advento da cosmologia relativística. Em particular, o princípio cosmológico, a expansão do Universo e a aproximação hidrodinâmica foram fundamentais. Assim, do ponto de vista conceitual e histórico, pode-se considerar a cosmologia Newtoniana como sendo ``filha'' da relativística. Essa interpretação é reforçada quando se observa que o próprio Newton já havia notado que sua teoria da gravitação universal encontrava problemas sérios quando aplicada a sistemas infinitos, o que pode explicar porque uma cosmologia Newtoniana não precedeu o aparecimento da relatividade geral (Kerszberg 1987). Dessa forma, foi necessário o aparecimento da cosmologia relativística para que fossem encontrados os limites apropriados a serem aplicados à teoria Newtoniana a partir dos quais uma cosmologia pudesse ter origem nessa teoria. Portanto, para ser construída, a cosmologia Newtoniana necessitou dos resultados fornecidos pela relatividade geral e, como conseqüência disso, ela surgiu como um resultado da cosmologia relativística, e não o inverso.

Com essa perspectiva em mente, podemos então interpretar a hipótese da finitude do universo Newtoniano e afirmar que para que tal hipótese faça sentido somos forçados a concluir que a cosmologia Newtoniana é uma aproximação local da cosmologia relativística. Esse ponto de vista encontra ampla aceitação atualmente (Bondi 1960; Zel'dovich & Novikov 1983; Peebles 1980) e, por exemplo, está nos fundamentos de uma parte substancial da abordagem de Peebles da cosmologia, a qual considera que a distribuição das galáxias pode ser tratada a partir de um espaço plano Euclidiano, desprezando efeitos de curvatura (Peebles 1980, p. 143).

Considerar a cosmologia Newtoniana como sendo uma aproximação local levanta a questão sobre o que consiste exatamente essa aproximação pois, como vimos, a expansão do Universo já está descrita na abordagem Newtoniana. Nesse aspecto podem existir pontos de vistas distintos, mas segundo a análise mostrada acima talvez a melhor perspectiva seja a de que é no comportamento da luz que ocorre a distinção mais importante (essa é essencialmente a perspectiva de Bondi 1960). Na medida em que a teoria Newtoniana não descreve a dinâmica das cargas elétricas, é o comportamento da luz que deve servir de base para se estabelecer os limites dessa aproximação, e tal somente pode ser feito de um ponto de vista relativístico onde fique explícito o grau dessa aproximação, isto é, até onde podemos usar a teoria Newtoniana em cosmologia. Em uma linguagem relativística, isso significa que são as geodésicas nulas que determinarão essa aproximação.¹¹ 

Outro critério bastante difundido é, como discutido ao final da seção 5, o de admitir a aproximação Newtoniana como válida apenas para o movimento de galáxias com baixa velocidade de recessão se comparadas à velocidade da luz, o que, considerando a lei de velocidade-distância, significa que tais velocidades ocorrerão somente em volumes esféricos limitados. Esses dois critérios não são excludentes, mas complementares, e ambos usam a teoria relativística para estabelecer os limites de validade da cosmologia Newtoniana.¹² 

Mas, uma vez determinada a aproximação Newtoniana em cosmologia, uma outra pergunta de caráter conceitual torna-se óbvia: se, dentro dessa aproximação, as duas teorias produzem os mesmos resultados algébricos, então elas não seriam equivalentes? Esse foi o ponto de vista avançado por Milne em seu trabalho original e tinha por objetivo fundamentar seu polêmico ponto de vista de que a relatividade geral não era essencial para se estudar problemas cosmológicos (Milne 1934; ver também North 1965; Kerszberg 1987). No entanto, é importante frisar que equivalência algébrica não implica em equivalência conceitual. Mesmo que as duas teorias cheguem a equações iguais, elas partem de pontos de vistas bastante distintos e interpretam os termos dessas mesmas equações de forma diferente. Assim, como observado acima, na teoria Newtoniana a constante k está associada à energia do sistema, enquanto que em cosmologia relativística esse termo designa a curvatura do espaço.

Uma análise detalhada da questão da possível equivalência entre as duas teorias foi feita por McVittie (1954) por meio do método no qual a cosmologia Newtoniana é obtida da relativística no limite $c \rightarrow \infty$. Nesse trabalho, McVittie chega à importante conclusão de que a constante cosmológica relativística não gera uma força proporcional à distância como postulado pela equação (6) no limite Newtoniano, mas que nesse limite ela se manifesta apenas como uma constante aditiva à pressão. Portanto, assim como no caso da constante k, não há equivalência quanto à interpretação do efeito físico proporcionado pela constante cosmológica nos dois modelos.

A comparação entre as duas teorias também foi objeto das investigações de Raychaudhuri (1957) que concluiu que para um mesmo sistema físico estudado a teoria Newtoniana fornece menos equações do que a relativística e, portanto, parece que em geral os modelos relativísticos terão análogos Newtonianos, mas que o inverso não é necessariamente verdade.

Para concluir, já observamos que a cosmologia Newtoniana deve ser compreeendida como uma aproximação local, mas como tal, e apesar da questão da interpretação dos seus termos quando comparada à cosmologia relativística, ela funciona como uma excelente ferramenta teórica em cosmologia. Como alguns exemplos de suas aplicações pode-se citar que além do modelo homogêneo e isotrópico desenvolvido nas seções anteriores, é possível discutir-se um modelo cosmológico de estado estacionário (com criação de matéria) no contexto Newtoniano (Landsberg & Evans 1977, p. 125) e também cosmologias Newtonianas homogêneas e anisotrópicas semelhantes à classificação de Bianchi (Hibler 1976). Em um contexto astrofísico, a teoria Newtoniana fornece métodos para se discutir problemas como o levantamento do campo de velocidades peculiares utilizando apenas suas componentes radiais fornecidas pelos catálogos de galáxias: o método conhecido como POTENT (Dekel, Bertschinger & Faber 1990). Finalmente, nesse mesmo contexto astrofísico é importante mencionar que os primeiros modelos cosmológicos hierárquicos (fractais) foram desenvolvidos dentro da cosmologia Newtoniana (Wertz 1970, 1971; Pietronero 1987) e os fundamentos da teoria de formação de galáxias, isto é, a evolução das não-homogeneidades em um universo em expansão por meio de perturbações, também pode ser discutido em um contexto Newtoniano (ver Ellis [1990] e referências citadas no artigo).

Portanto, a cosmologia Newtoniana tem seu lugar em cosmologia e, parafraseando Schücking (1967b), talvez possamos compara-la à cosmologia relativística de forma similar quando se compara a teoria de Bohr à mecânica quântica: uma aproximação útil e simples que em alguns casos permite derivar resultados equivalentes ao relativísticos de uma forma muito mais simples.

Agradecimentos

Gostaria de agradecer meus estudantes Alexandre Y. Miguelote e Newton J. de Moura Júnior por discussões que me levaram a reescrever algumas passagens obscuras no manuscrito original. Esse trabalho foi realizado com o suporte financeiro do CNPq.

Bibliografia¹⁰

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Soluções com $\bf\Lambda =0$

Neste apêndice procurarei apresentar as principais soluções da equação diferencial cosmológica (17) ou (56), isto é, as soluções onde o termo dado pela constante cosmológica é zero. Como vimos acima, com a constante C definida pela relação (38) ou (57), a equação diferencial cosmológica tem a mesma forma algébrica que a equação de Friedmann e, portanto, os resultados acerca da dinâmica dos modelos cosmológicos obtidos nessa seção são também válidos em cosmologia relativística. Esse modelo de universo é convencionalmente chamado de modelo cosmológico padrão.

Para estudarmos a evolução do universo por meio da equação (56), é conveniente dividirmos o problema em três casos distintos: aqueles em que k=0, k=+1 e k=-1.

Caso $\bf k=0$

Nesse caso a equação (56) torna-se

$${\dot{R}}^2= \frac{C}{R}.$$ (70)

Para integrarmos essa equação vamos assumir a condição inicial conhecida como Grande Explosão (Big Bang), onde R=0 quando t=0. Essa condição inicial é amplamente interpretada como sendo a representação do estágio inicial do Universo. Assim, a integração da equação (70) produz

$$R= { \left( \frac{9}{4} C t^2 \right) }^{1/3}.$$ (71)

Essa solução para o fator de escala é chamada de modelo de Einstein-de Sitter. Nesse caso o parâmetro de Hubble é dado por

$$H(t) = \frac{\dot{R}}{R} = \frac{2}{3t}.$$ (72)

Se definirmos agora um parâmetro de desaceleração q(t),

$$q(t) = - \frac{ R \ddot{R}}{{\dot{R}}^2},$$ (73)

como R>0 e ${\dot{R}}^2 > 0$, então se $\ddot{R} < 0$ isso implica que q>0. Assim, um valor positivo de q mede a taxa na qual o universo estará desacelerando. No modelo de Einstein-de Sitter obtemos o valor constante

$$q(t) = \frac{1}{2}.$$ (74)

Próximo da Grande Explosão R é pequeno e, portanto, o termo C/R domina sobre $\frac{1}{3} \Lambda R^2$ na equação (56). Lembrando que pelas suas definições

$$C>0, \ \ \ \ \ -\infty < \Lambda < + \infty,$$ (75)

quando $R \rightarrow 0$ podemos aproximar a equação (56) para

$${\dot{R}}^2 \approx \frac{C}{R}.$$ (76)

Portanto, se a equação (56) descreve a dinâmica cosmológica, quaisquer que sejam os valores de k e $\Lambda$o universo se comporta como no modelo de Einstein-de Sitter para pequenos valores de t, isto é, expande a uma taxa proporcional a t^2/3 próximo à Grande Explosão.

Caso $\bf k=+1$

Nesse caso a equação (56) pode ser escrita como

$${\dot{R}}^2 = \frac{C}{R} -1,$$ (77)

cuja solução é obtida após utilizarmos as condições iniciais da Grande Explosão e as mudanças de variáveis, u²=R/C, $u= \sin \theta$ (d'Inverno 1992, p. 334). Dessa forma a integração da equação (77) fornece a expressão

$$\frac{R}{C} = \sin^2 \left[ \frac{t}{C} + \sqrt{ \frac{R}{C} \left( 1- \frac{R}{C} \right) } \; \right],$$ (78)

a qual, devido a função periódica, implica que o fator de escala é limitado aos valores

$$0 \le R/C \le 1.$$ (79)

Esse modelo é conhecido como modelo oscilatório porque, após um certo período, a expansão paralisa e então o universo começa a se contrair até um evento catastrófico conhecido como Grande Implosão (Big Crunch).

Caso $\bf k=-1$

Com esse valor de k a equação de Friedmann torna-se

$${\dot{R}}^2 = \frac{C}{R} +1,$$ (80)

cuja integração é obtida usando transformações de variáveis similares ao caso anterior, o que nos leva a poder escrever a solução da equação (80) como

$$\frac{R}{C} = \sinh^2 \left[\sqrt{ \frac{R}{C} \left( 1+ \frac{R}{C} \right) } - \frac{t}{C} \right],$$ (81)

onde é óbvio que

$$0 \le R < + \infty .$$ (82)

Assim, nesse modelo cosmológico o fator de escala cresce sem limites e, como conseqüência, esse universo é chamado de modelo de expansão eterna. Deve-se observar que devido a solução (71), a condição (82) também é válida para o modelo de Einstein-de Sitter.

Densidade Crítica e Parâmetros Cosmológicos

Como vimos acima a equação de Friedmann produz modelos cosmológicos com comportamentos dinâmicos distintos: os modelos de Einstein-de Sitter e de expansão eterna expandem indefinidamente enquanto que o modelo oscilatório não. Muito da cosmologia observacional atual gira em torno da tentativa de identificar qual desses três modelos cosmológicos corresponderia ao Universo observado, e uma das ferramentas fundamentais nesse estudo são os chamados parâmetros cosmológicos, cuja medição é obtida através da cuidadosa observação das galáxias e seu conteúdo estelar. Até agora dois já foram apresentados: os parâmetros de Hubble e de desaceleração. Agora veremos como q(t) e a densidade se comportam nos diferentes modelos.

Ao diferenciarmos a equação (56) em relação ao tempo e a multiplicarmos por $-R/2 { \dot{R}}^2$, lembrando a definição de q(t) obtemos

$$q(t) = \frac{C}{2 H^2 R^3} = \frac{4}{3} \pi G \rho H^{-2}.$$ (83)

Se agora definirmos a densidade crítica $\rho_c$como sendo o valor da densidade do modelo de Einstein-de Sitter na época atual,

$$\rho_c = \frac{3 {H_0}^2}{8 \pi G},$$ (84)

a equação (56) pode ser escrita na forma

$$k= \left\{ \rho(t) - \frac{\rho_c}{{H_0}^2} { \left[ H(t) \right] }^2 \right\} \frac{8}{3} \pi G { \left[ R(t) \right] }^2,$$ (85)

que no tempo presente t=t₀ reduz-se a

$$k= \left( \rho_0 - \rho_c \right) \frac{8}{3} \pi G.$$ (86)

Essa equação permite obter uma relação entre $\rho_0$e a densidade crítica para os três modelos Friedmannianos, conforme abaixo:

$$\left\{ \begin{array}{ll} \rho_0 = \rho_c \ \ \ \Rightarrow... ... 0 \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ k=-1. \end{array} \right.$$ (87)

Como se vê a determinação observacional da densidade na época atual permitiria, em princípio, discriminar qual dos três modelos corresponde ao Universo observado.

O parâmetro de desaceleração também está relacionado à constante k. Em t=t₀ a equação (83) mostra que

$$q_0=\frac{4}{3} \pi G \rho_0 {H_0}^{-2}.$$ (88)

Já vimos que no modelo de Einstein-de Sitter q₀=1/2. Portanto, considerando as equações (87) e (88), é óbvio que

$$\left\{ \begin{array}{ll} \rho_0 = \rho_c \ \ \ \Rightarrow... ...\rho_c \ \ \ \Rightarrow \ \ \ q_0 < 1/2. \end{array} \right.$$ (89)

Finalmente, podemos ainda definir um parâmetro de densidade conforme a equação,

$$\Omega(t) \equiv \frac{\rho (t) }{\rho_c}.$$ (90)

Na época atual o parâmetro de densidade também está relacionado aos outros parâmetros conforme abaixo:

$$\left\{ \begin{array}{ll} k = 0 \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \... ... -1 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \Omega_0 < 1. \end{array} \right.$$ (91)

A utilização dos parâmetros acima permitiria, pelo menos em princípio, a determinação observacional de qual dos três universos de Friedmann corresponde ao Universo observado e, sob essa perspectiva, o problema cosmológico fica na prática reduzido à determinação astronômica de alguns parâmetros bem definidos, isto é, fica reduzido à determinação observacional de H₀, $\rho_0$, q₀, $\Omega_0$. No entanto, essa determinação está longe de ser trivial, sendo freqüentemente bastante problemática e incerta, além de não ser conclusiva pois gera valores bastante distintos dependendo do método observacional utilizado. Os valores atualmente aceitos para esses parâmetros são,

$$\left\{ \begin{array}{ll} H_0 = 70 \pm 30 \ \ \ \mbox{\rm K... ...pm 0,15, \\ 10^{-3} \le \Omega_0 \le 1, \end{array} \right.$$

o que mostra que suas medições ainda não permitem uma definição sobre se o Universo é do tipo oscilatório, expansão eterna ou de Einstein-de Sitter, embora um considerável conjunto de observações favoreçam $\Omega_0 < 0,4$ (Coles & Ellis 1994).

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The translation was initiated by Marcelo B. Ribeiro on 1998-09-02

Footnotes

... Ribeiro¹

endereço atual: Departamento de Física Matemática, Instituto de Física - UFRJ, CP 68528, Ilha do Fundão, 21945-970 Rio de Janeiro - RJ.

... Universo.²

Nesse trabalho será adotada a seguinte diferença conceitual para os termos ``Universo'' e ``universo''. O primeiro termo, com ``U'' maiúsculo, refere-se à base empírica sobre a qual as diferentes cosmologias são construídas, enquanto que o segundo termo, com ``u'' minúsculo, se refere ao modelo propriamente dito. Assim, na medida em que existem diversos modelos cosmológicos, existem então diversos universos, isto é, vários modelos de universos.

... Hubble.³

A lei de velocidade-distância é comumente e indiscriminadamente chamada de lei de Hubble, embora isso seja conseqüência de uma certa confusão conceitual bastante comum. A lei descoberta por Hubble é na realidade uma relação linear entre o desvio para o vermelho (``redshift'') da galáxia e sua distância, sendo válida apenas para pequenos valores do desvio para o vermelho. Portanto, a lei de Hubble como originalmente formulada é na realidade uma lei de redshift-distância. Do ponto de vista da cosmologia relativística Friedmanniana, a lei de redshift-distância é obtida através de uma aproximação local que pode tomar a forma da lei de velocidade-distância (12) caso sejam feitas aproximações apropriadas na relação relativística, isto é, se usarmos a aproximação local da fórmula de Doppler onde $v \approx cz$ . Assim, a lei de Hubble é obtida na cosmologia relativística apenas para pequenos valores do redshift, ou mais especificamente, para $z \ll 1$. Já a lei de velocidade-distância (12) não requer nenhuma restrição quanto a distância do objeto, sendo válida para qualquer distância, o que implica que as leis de velocidade-distância e de Hubble produzirão os mesmos resultados apenas para pequenas distâncias ou redshifts. Essa distinção é, no entanto, comumente ignorada e a equação (12) é freqüentemente chamada de lei de Hubble, o que, estritamente falando, é incorreto pois a equação (12) é obtida a partir de argumentos conceituais completamente diferentes dos usados no suporte teórico da lei empírica encontrada por Hubble (ver observação ao pé da página adiante). Uma discussão detalhada dessa questão pode ser encontrada em Harrison (1993).

... esfera.⁴

As implicações decorrentes da hipótese de que o universo é limitado por uma superfície esférica serão discutidas nas próximas seções.

...).⁵

A contribuição ao potencial devido a massa na casca esférica com raio entre x e a₀ foi ignorada por conveniência. Tal se justifica porque ao estudarmos o comportamento de um universo limitado por uma superfície esférica $\cal A$, em geral consideramos que $x \rightarrow a_0$, o que implica em calcular o potencial em $\cal A$.

... infinita.⁶

Para calcularmos o potencial no centro da superfície esférica, temos que usar uma fórmula diferente da equação (34) pois é necessário levar em consideração a contribuição ao potencial dada pela massa da casca esférica externa a um raio x. Tal situação foi explicitamente ignorada anteriormente, conforme a nota 4 de pé de página. Assim, de acordo com a teoria elementar de gravitação, o potencial gravitacional em um raio x dentro de uma esfera homogênea é dado por

$$\Phi (x,t_0)= -2 \pi G \rho_0 \left( {a_0}^2 - \frac{x^2}{3} \right), \protect$$ (40)

e, no centro dessa esfera, temos que

$$\Phi (0,t_0)= -2 \pi G \rho_0 {a_0}^2. \protect$$ (41)

Esta expressão também diverge quando o universo é considerado infinito, isto é, no limite

$$\lim_{a_0 \rightarrow \infty} \Phi (0,t_0)= - \infty. \protect$$ (42)

... 1993).⁷

Deve-se observar aqui que a cosmologia Newtoniana pode ser reinterpretada para que o potencial obedeça a condições de contorno especiais que forcem a sua convergência no infinito. Isso, no entanto, pode ser evitado se simplesmente supusermos que o sistema analisado não é infinito, mas finito, como foi feito acima. Essa reinterpretação da cosmologia Newtoniana e as decorrentes condições de contorno impedem que se faça a mais simples e elementar abordagem e discussão da cosmologia Newtoniana e, por essa razão, não serão discutidos nesse artigo (ver Heckmann 1961; Schücking, 1967ab).

...).⁸

Deve-se observar que tendo em vista a arbitrariedade da constante $\mu$, conforme a discussão acerca da equação (21), sem perda de generalidade podemos assumir que $\mu=1$, o que torna a equação (43) equivalente à equação (9) para o modelo discreto.

... incoerente).⁹

Uma discussão sobre modelos cosmológicos com pressão não nula em um contexto Newtoniano pode ser encontrado em Landsberg & Evans (1977), p. 130.

...Bibliografia¹⁰

Essa bibliografia inclui alguns trabalhos originalmente escritos em alemão que, embora relevantes para o assunto desse artigo, não foram citados no texto.

...ão.¹¹

Por meio do uso de relações observacionais calculadas ao longo de geodésicas nulas, Ribeiro (1995) apresenta um exemplo de como esse critério pode ser usado na prática para estabelecer os limites da aproximação local, isto é, da aproximação Newtoniana, em um modelo cosmológico relativístico.

... Newtoniana.¹²

Deve-se observar que sob esse critério, isto é, que a cosmologia Newtoniana somente é válida quando $v \ll c$, a fórmula clássica do efeito Doppler

$$z=\frac{ \left( 1+ v/c \right) }{\sqrt{1- v^2 / c^2}}-1,$$ (66)

pode ser aproximada para $z \approx v/c$. Essa aproximação também pode ser obtida via uma expansão em série de potências se, em pequenas velocidades, considerarmos que apenas o primeiro termo da série é válido

$$z=\left( \frac{v}{c} + \frac{v^2}{2 c^2} + \frac{v^3}{2 c^3} + \ldots \right).$$ (67)

Daqui se vê que $v \ll c$ implica em $z \ll 1$. Assim, em pequenas velocidades, a lei de Hubble $z \propto r$toma a forma $v/c \propto r$ e como a lei de velocidade-distância é válida para qualquer valor de r, a lei de Hubble coincide com a lei de velocidade-distância em primeira aproximação se assumirmos que é o parâmetro de Hubble dividido pela velocidade da luz que fornece o termo de proporcionalidade em cada época entre o desvio para o vermelho e a distância, ou seja,

$$v(r,H)=H(t)r(t)=cz, \ \ \ \ \mbox{para} \ \ z \ll 1.$$ (68)

Se o tempo de referência t₀ for a nossa época, a lei de Hubble pode ser escrita como

$$v(x,H_0)=H_0 x=cz, \ \ \ \ \mbox{para} \ \ z \ll 1,$$ (69)

onde H₀=H(t₀) é a constante de Hubble.