Propriedades macroscópicas
Consideremos um sistema de N partículas confinadas a um Volume V.
O sistema está isolado do meio externo.
Não estaremos interessados em estudar os detalhes deste sistema, isto é, o comportamento de cada partícula individualmente (estado microscópico).
Nosso principal interesse consiste em descrever as propriedades globais (macroscópicas) deste sistema.
A razão pela qual esta esolha é feita se deve ao fato de que, se N é muito grande, torna-se bastante difícil compreender as propriedades do sistema em questão analizando-se as características do movimento de cada partícula.
Na realidade, experimentalmente não somos capazes de obter informações tão detalhadas assim, ao lidarmos com sistemas muito grandes (macroscópicos) nos quais N é absurdamene grande.
De fato para sistemas macroscópicos, não seriamos capazes de fornecer uma descrição tão detalhada nem teoricamente.
Deste modo, apenas algumas grandezas macroscópicas são medidas experimentalmente.
O Ensenble Microcanônico
Como o sistema considerado está isolado do meio externo, ele tenderá a um estado de equilíbrio correspondente a energia total E.
Consideremos, então, um número muito grande de cópias deste sistema.
Este conjunto de cópias é chamado "ensemble".
Cada cópia pode diferir macroscopicamente uma da outra apenas pelo valor da energia total E. Em outras palavras, todos estão confinados a um volume V e possuem o mesmo número de partículas N.
Devido ao grande número de graus de liberdade que este sistema possui, existem diversas configurações com a mesma energia total E.
Isto está exemplificado na figura abaixo onde mostramos as 6 configurações possíveis para um sistema extremamente simples no qual suas 3 partículas podem possuir apenas velocidade -U0 , U0 e 2U0 .
O Método do "Demon"
A simulação numérica do ensemble descrito acima é, a primeira vista, extremamente simples.
De fato, basta sortearmos N partículas num volume V e guardarmos apenas os eventos nos quais a energia total do sistema corresponde a E.
Entretanto, uma rápida reflexão nos mostra que este método é extremamente ineficiente e, até mesmo, inaplicável para sistemas com muitas partículas.
De fato, a fração de eventos aceitos seria, em geral, extremamente pequena comparada ao total de eventos gerados.
Afim de ilustrarmos este ponto, consideremos um sistema de (apenas!) 4 partículas que, para simplificar, podem se mover para a direita ou para a esquerda com velocidade U.
Teríamos no total, 16 configurações diferentes para o sistema, ou 16 estados acessíveis.
Se estivermos interessados apenas nos estados nos quais 3 partículas se movem para a direita e apenas uma se move para a esquerda, apenas 1/4 dos estados possíveis satisfariam estas condições.
Assim, se gerarmos todas as configurações possíveis com igual probabilidade, rejeitariamos 3/4 dos eventos.
A situação se torna ainda pior quanto mais complexo for o sistema.
Por este motivo, o método do "Demon" (M. Creutz Phys. Rev. Lett. 50, 1411 (1983) e G. Bahnot e M. Creutz Nucl. Phys. B 235, 417 (1984)) é extremamente últil na simulação destes sistemas.
A idéia central deste método consiste em fazer com que o "Deomon" troque energia (ceda ou receba) com o sistema.
Se a troca vai no sentido de diminuir a energia das partículas, o Demon recebe esta energia e esta troca é permitida.
Por outro lado, quando o Demon deve ceder energia ao sistema, isto só é permitido se a energia do Demon, após a troca, for maior ou igual a zero.
Como o Demon é um grau de liberdade do sistema, o ensemble é microcanônico pois a energia do sistema não flutua.
Em outras palavras, o sistema considerado é o conjunto de partículas mais o Demon e não apenas o conjunto de partículas.
O fato de termos um sistema diferente do original não introduz conseqüências trágicas uma vez que o Demon é apenas um grau de liberdade entre o imenso número de graus de liberdade que o sistema original possui.
Assim, o algorítimo para implementação deste método é o seguinte:
| i) | Uma partícula do sistema é sorteada ao acaso e novos valores são atribuidos aleatoriamente às suas coordenadas. | |
| ii) | A variação da energia do sistema de N partículas é calculada, isto é, a energia final menos a inicial. | |
| iii) | (a) Se esta variação for negativa, aceitamos a nova configuração.
A energia subtraida do sistema de N partículas é adicionada
à energia do Demon. (b) Se esta variação for positiva, subtraimos esta variação da energia do Demon. Se sua energia final for maior ou igual a zero, a nova configuração é aceita. Do contrário, ela é recusada e o sistema e o Demon permanecem na configuração antiga. |
|
| iv) | A configuração obtida no item (iii) (mesmo que o caso (b) ocorra), é utilizada como nova configuração. |
O ensemble canônico
Na grande maioria das vezes em que desejamos estudar um sistema no laboratório, o sistema não se encontra isolado.
O "contato" do sistema com o equipamento do laboratório faz com que a energia do sistema flutue devido à troca de calor entre o sistema e o equipamento.
Tendo em vista que a massa do sistema é em geral muito menor do que a massa do equipamento, podemos considerar este último como um reservatório térmico.
Um banho (ou reservatório) térmico é um sistema grande o suficiente para que suas propriedades termodinâmicas não variem quando este cede ou recebe energia de um sistema em contato com ele.
Deste modo, se o reservatório térmico está em equilíbrio a uma temperatura T, após algum tempo, o sistema entrará em equilíbrio térmico e também estará a esta temperatura.
Neste caso, a energia do sistema flutuará, isto é, ela não será mais bem definida como era no caso do ensemble microcanônico.
Um ensemble a uma temperatura fixa T, além de N e V constantes, é chamado ensemble canônico.
Deste modo, o método do Demon não será mais tão útil para se estudar este sistema.
Porém, se encararmos o sistema considerado anteriormente de uma outra maneira, podemos
inferir sobre propriedades importantes do ensemble canônico.
De fato, no caso do ensemble microcanônico o método do Demon foi aplicado ao estudo do conjunto de partículas considerando-se o Demon como um grau de liberdade do sistema.
Em outras palavras, o sistema era composto de N partículas mais o Demon.
No caso em questão, podemos pensar que o Demon representa o sistema que se deseja estudar em laboratório e o conjunto de N partículas é o banho térmico.
Isto está representado esquematicamente na figura abaixo.
programa fortran
arquivo dat (entrada de dados)
arquivo include (entrada de dados)
Setembro 1997
Sergio R. Souza